Euclides de Alejandría el matemático

Si uno se contenta con escribir una nota biográfica sobre la vida de Euclides, entonces sería muy corta: sabemos poco o nada sobre el hombre que puede ser considerado el mayor profesor de matemáticas de la historia. 

Sólo se piensa que estudió en la escuela de los sucesores de Platón en Atenas, antes de establecerse en Alejandría, por invitación de Ptolomeo I. 

Euclides
foto pixabay

Pero como estas suposiciones se basan en los escritos de Proclus, que datan de 9 siglos después de Euclides, ¡no son fiables!

Lo que es bien conocido de Euclides son las obras que han llegado hasta nosotros firmadas con su nombre, incluyendo Data, y especialmente los 13 volúmenes de los Elementos. 

Además, no está claro cómo se relaciona Euclides exactamente con el conocimiento que presenta. 

Parece que ninguno de los resultados de los Elementos se debe a Euclides, y que su trabajo consiste en un reexamen de diferentes nociones exhibidas por varios matemáticos. 

La escuela

Nadie puede decir con certeza si Euclides fue un historiador de la ciencia, director de una escuela, y si escribió sus obras para su enseñanza. 

O si confió sus escritos a sus estudiantes, que podrían haber continuado publicando bajo el nombre de Euclides incluso después de su muerte. 

Uno podría llegar a suponer que Euclides, a la manera de Nicolas Bourbaki, era el nom de plume de un matemático polifacético: varios matemáticos escribiendo el mismo tratado bajo un seudónimo.

Veamos los Elementos. Este libro es tan importante que sería el segundo texto más publicado en la historia después de la Biblia. 

Todavía es fundamental hoy en día, porque la mayoría de los cursos de matemáticas en la universidad vienen directamente de ella. 

Los primeros 4 volúmenes están dedicados a la geometría plana. Euclides inició entonces el método axiomático construyendo la geometría en el plano utilizando axiomas y postulados. 

Más claramente, Euclides demuestra los teoremas de la geometría plana a partir de proposiciones que él postula como verdaderas (del tipo: dos cantidades iguales a un tercio son iguales entre sí). 

Los postulados

En el lenguaje matemático moderno, estas proposiciones serían definiciones en la teoría que se está tratando de construir.

Gracias a este punto de vista, Euclides muestra un gran rigor, muy inusual para su época.

Uno de los postulados formulados por Euclides, el 5º postulado, también conocido como el postulado de los paralelos, ha sido problemático durante mucho tiempo. 

Dice que, a través de un punto fuera de una línea recta, uno puede llevar uno paralelo a esa línea, y sólo uno. 

Hasta el siglo XIX, algunos pensaban que este postulado era demasiado, es decir, que era un teorema que podía ser deducido de los otros axiomas y postulados. 

Pero el trabajo de Gauss, Riemann y Lobachevsky demostró entonces que era posible construir otros tipos de geometría, donde este postulado fue reemplazado por otro.

En la geometría hiperbólica, por un punto fuera de una línea recta, pasa una infinidad de líneas paralelas a esta línea.

Obras

Lo que la ciencia le debe a Euclides (Charles Renouvier)

«La geometría fue fundada plenamente y rigurosamente en el momento en que Euclides escribió en forma de síntesis.

Partiendo de principios absolutos, formalmente enunciados, y desarrollándose en teoremas de los cuales surgió gradualmente la solución de los problemas.

El famoso tratado que ha permanecido como base de la enseñanza de esta ciencia hasta hoy. 

Este libro verdaderamente admirable, que se remonta a la Este libro verdaderamente admirable, que data de la primera mitad del siglo I a.C., y que nunca se habría intentado repetir -no hace mucho tiempo- si no fuera por el pretexto de una laguna que ofrece para el estudio de los informes en casos de inconmensurabilidad.

Sólo será sustituido y reemplazado el día en que los topógrafos hayan logrado darse ideas claras, libre de toda contradicción, sobre las cuestiones de la infinidad de la cantidad, de la medida en su relación con el número.

No podemos entrar en los detalles necesarios para aclarar este difícil tema aquí.

Observemos sólo los tres puntos principales que son importantes para el estudio del progreso de la ciencia y el espíritu científico en la antigüedad. 

El primer punto es que no hay ni una sola palabra en el tratado de Euclides que toque las consideraciones filosóficas, es decir, de un orden más alto de generalidad que el tema geométrico.

La ideas

Por lo tanto, la ciencia está regularmente fundada y separada; y sin embargo no hay duda de que se basa en el principio de las ideas: Euclides está ligado a la doctrina de Platón, no a su doctrina metafísica, sino a su doctrina lógica, cuyo autor es Sócrates. 

En una palabra, toma como principios de la geometría ideas geométricas puras, o como conceptos: el punto límite, sin extensión, la línea sin anchura, etc.

La segunda observación se refiere a la medición de la cantidad geométrica. Euclides y, como él, sus sucesores compararon cantidades geométricamente consideradas entre sí; razonaron sobre sus mutuas relaciones de capacidad, hasta donde pudieron descubrir.

Si a uno de ellos se le presentaba la idea de proceder de esta manera, la rechazaba ciertamente en el primer examen.

Por la sencilla razón de que la mayor parte de las cantidades a las que se refiere el estudio del agrimensor serían inconmensurables con cualquier unidad, de la misma clase, que pudiera elegirse para medirlas todas.

Que por lo tanto las mediciones serían generalmente sólo aproximadas, el razonamiento no sería riguroso y los resultados de las verdades aproximadamente. 

Siendo esta objeción irrefutable, o al menos no sabíamos que los matemáticos modernos se han fijado un modo invenciblemente lógico de evadirla.

El resultado es, a favor de los antiguos, un legítimo prejuicio de rigor de la mente en ellos, y de corrección científica, del que nos hemos ido distanciando poco a poco. 

Algebra

Por otra parte, han dejado a los modernos, como veremos más adelante, la creación del álgebra que, entendida en el sentido amplio y completo de la palabra, es pura matemática, y este invento es una segunda maravilla de la mente humana.

Una especie de supergeometría, cuya importancia y mérito son independientes de la exégesis filosófica que los estudiosos parecen estar aún lejos de alcanzar.

La tercera observación se refiere al famoso «postulado de los paralelismos».

Euclides concibió el plan de una ciencia cuyas propuestas se demostrarían rigurosamente sobre la base de definiciones, que son ideas geométricas, sobre algunas nociones comunes y sobre el menor número posible de postulados. 

No se puede decir que haya aclarado filosóficamente la cuestión de la naturaleza de los postulados, su fundamento y su número (¿por qué precisamente esos postulados, y en qué capacidad deben ser elegidos y limitados?).

Pero tampoco se puede decir que los encuestadores modernos hayan respondido a esta pregunta. 

Sea como fuere, Euclides demostró su genio asignando a la doctrina geométrica del paralelismo y figuras similares un postulado.

Pues esta doctrina, a través de los siglos, ha permanecido en el punto en que ha quedado, salvo que recientemente se ha creído conveniente poner en tela de juicio la verdad del postulado.

Sólo podría haber sido entonces negando al mismo tiempo, por hipótesis al menos, todo el cuerpo de una geometría en la que siempre se han apoyado la filosofía y la ciencia, y que se llama euclidiana.

Terminemos con una rápida descripción de los otros libros de Elementos: 

  • Libro V: dedicado a la teoría de las proporciones Eudox, a los números inconmensurables. 
  • Libro VI: Similitudes del plan. 
  • Libros VII, VII, y IX: aritmética, alrededor de gcd y números primos. 
  • Libro X: números algebraicos cuadráticos, descubiertos por los pitagóricos. 
  • Libros XI, XII y XIII: geometría en el espacio, con volumen de sólidos habituales, y estudio de poliedros regulares. 

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